二项式定理展开式公式是什么？

1. 二项式定理展开式公式是什么？

如下图所示。
二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

在阿拉伯，10世纪，阿尔 ·卡拉吉已经知道二项式系数表的构造方法：每一列中的任一数等于上一列中同一行的数加上该数上面一数。11~12世纪奥马海牙姆将印度人的开平方、开立方运算推广到任意高次，因而研究了高次二项展开式。
13世纪纳绥尔丁在其《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式，并用到了二项式系数表。15世纪，阿尔 ·卡西在其《算术之钥》中介绍了任意高次开方法，并给出了直到九次幂的二项式系数表，还给出了二项式系数表的两术书中给出了一张二项式系数表，其形状与贾宪三角一样。
16世纪，许多数学家的书中都载有二项式系数表。1654年，法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理，因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英国的牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形。
18世纪，瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。

2. 二项式展开的定理和公式

1、二项式定理
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如 展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
2、二项式展开公式
二项式定理可以用如下公式表示：

3、常数项
二项式展开式中的常数项，指的是使得a^(n-r)b^r次方为常数，不包含未知变量。
考试中较常出现的二项式展开式中常数项的系数求法，就是用到这个原理。
4、计算实例

3. 二项式定理的展开式是什么？

根据此定理，可以将x+y的任意次幂展开成和的形式



其中每个

 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于

 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作



扩展资料
用数学归纳法证明二项式定理：
证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边
假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立；
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b
＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立。

参考资料：百度百科-二项式定理

4. 二项式定理的展开式是什么？

什么是二项式、二项式定理

5. 用二项式定理展开

用二项式定理展开(a+2b)⁶和(1-1/x)⁵.
解：(a+2b)⁶=a⁶+6a⁵(2b)+15a⁴(2b)²+20a³(2b)³+15a²(2b)⁴+6a(2b)⁵+(2b)⁶
=a⁶+12a⁵+60a⁴b²+160a³b³+240a²b⁴+192ab⁵+64b⁶
(1-1/x)⁵=1-5/x+10/x²-10/x³+5/x⁴-1/x⁵.

6. 二项式展开定理是什么？

二项展开式是依据二项式定理对(a+b)?进行展开得到的式子。在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。

7. 二项式展开定理求解。

解：
第4、7项相同
则第4项前面有3项、与第7项后面的项数相同
 
总项数为7+3=10
 
x^6的项数为第n项：
2n-(9-n)/2=6
5n-9=21
n=5
C(9,5)=C(9,4)=9*8*7*6/(1*2*3*4)=126
 
解毕。

8. 二项式定理公式和展开式通式是什么？

(a+b)^n=a^n+[C(n,1)]a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)b^2+……+C(n-1,n)ab^(n-1)+b^n
通项T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)*b^k