如何证明二项式定理?

1. 如何证明二项式定理?

　二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。
　　此定理指出：
　　其中，二项式系数指...
　　等号右边的多项式叫做二项展开式。
　　二项展开式的通项公式为：...
　　其i项系数可表示为:...，即n取i的组合数目。
　　因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
　　二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为： 
　　1 n=0 
　　1 1 n=1
　　1 2 1 n=2
　　1 3 3 1 n=3
　　1 4 6 4 1 n=4
　　1 5 10 10 5 1 n=5
　　1 6 15 20 15 6 1 n=6
　　…………………………………………………………
　　（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）
　　在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。 
　　1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。 
　　二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
　　1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律
　　二项式定理:　叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别. 
　　2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. 
　　①对称性： 
　　②增减性和最大值：先增后减
　　n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2＋1
　　n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2＋1
　　3．二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想. 
　　证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。 
　　二项式系数之和:
　　2的n次方
　　而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方
　　二项式定理的推广：
　　二项式定理推广到指数为非自然数的情况：
　　形式为 推广公式
　　注意：|x|<1 
　　(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n
　　

2. 二项式定理证明

(1+x)^(2n)=(1+x)^n*(1+x)^n
考虑两遍分别展开的i次项

组合意义是：有两堆东西，每堆内有n个，一共从两堆中取i个东西，和从第一堆取k个，再从第二堆中取n-k个当k取遍1到i时的取法总数是一样的

3. 二项式定理的证明

n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。（那个形式太难打了，只能这个样子了）

4. 二项式定理证明

用最基本的原理，文字证明即可
C( N+M , L)  代表了从N+M个元素中取出L个元素的组合方法数
 
如果把N+M拆开，则可以分成L种情况
1，在N中取0个，在M中取L个      ，即C (N,0)*C(M,L)
2，在N中取1个，在M中取L-1个    
3，在N中取2个，在M中取L-2个
以此类推
L+1,  在N中取L个，在M中取0个
 
左边正好是拆分情况个数 加起来
从而两边相等

5. 二项式定理的证明

最佳答案n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。 
  二项式系数之和:
  2的n次方

6. 二项式定理如何证明？

组合的方法证明：
设有n个小球放到两个不同的盒子中，盒子可以为空。
若对小球进行讨论，每个小球有两个选择，共有2^n种放法。
若用分类原理，一号盒子中没有小球的放法有cn0种，有一个小球的放法有cn1种，有两个小球的放法有cn2种，有n个小球的放法有cnn种，共有放法cn0+cn1+cn2+…+cnn种显然，两种方法得到的结果相同，所以有cn0+cn1+cn2+…+cnn＝2^n。
扩展资料：
二项式定理常见的应用：
方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法
1、运用时应注意巧妙地构造二项式。
2、用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证。
方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数
1、利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可。
2、用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了。
3、要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换。
参考资料：百度百科词条--组合数公式
参考资料：百度百科词条--二项式定理

7. 利用二项式定理证明

由二项式定理，当a>0，k>1时，(1+a)^k = C(k,0)+C(k,1)*a+...+C(k,k)*a^k > C(k,0)+C(k,1)*a = 1+na
∴(3/2)^(n-1) = (1+1/2)^(n-1) > 1+(n-1)/2 = (n+1)/2
∴ (2/3)^(n-1) < 2/(n+1)

8. 二项式定理怎么证明?

n个（a+b）相乘,是从（a+b）中取一个字母a或b的积.所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式.对于每一个a^k*b^(n-k),是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数,右下角一个数））.（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）.由此得到二项式定理. 
    二项式系数之和:
    2的n次方